純點

1.參考視頻71-78談泛函分析（孫炯）_ ゜゜゜つロcheers ~-嗶哩嗶哩

2.《泛函分析教科書》孫炯

3.第6章線性算子的譜理論。

4.線性算子的譜理論在基礎研究和應用研究中都起著重要的作用。Banach空間中線性算子譜點的概念是有限維矩陣特征值概念的推廣。

5.譜理論對于理解和刻畫線性算子非常重要。

6.對于有限維空間X上的貨幣算子A，A的譜點是特征值。根據(jù)這些特征值，空間X可以分解成關(guān)于該算子的幾個不變子空間。線性算子的譜（特征值）本質(zhì)上描述了線性算子的作用方式。線性算子的譜也反映了線性算子是否有逆算子。在什么范圍內(nèi)有逆算子（是否有解，是否唯一），逆算子是否連續(xù)（解是否穩(wěn)定）等等。（視頻p71）

7.在無限維空間中，線性算子的譜理論比有線維空間中的譜理論復雜得多。線性算子的譜不僅包括特征值，還包括連續(xù)譜和剩余譜。（視頻p71）

8.本章的主要內(nèi)容:線性算子譜的定義、分類和性質(zhì)；（定義）有界線性算子的譜集是非空有界閉集；有界自共軛線性算子的譜分析:（對稱）緊線性算子的譜分析。（緊致線性算子，因為它是有限維的并且具有可數(shù)的無窮個特征值）

9.C =正則點集+譜集{點譜、連續(xù)譜、剩余譜}

10.1.正則點集與譜集的定義空間:Banach空間，t:線性算子正則點集:其值域中間稠密且具有連續(xù)的逆算子，記為預解集:如果有逆算子，則稱為預解集，記為譜集:正則點的補集。

11.線性算子:有界線性算子和無界線性算子都適用于密度:juliar:泛函分析（2）第一章:距離空間1.3.3，它表明一個閉包是接觸點的總體。

12.注意:在這個定義中，不要求T是有界線性算子，不一定是整個空間。【無界線性算子不能在整個空間上定義】

13.在定義6.1.1中，復平面上的點分為兩類:正則點集和譜點集。

14.譜點集由使逆算子在整個空間上有界的所有復數(shù)組成。

15.2.譜集的分類:點譜、連續(xù)譜和剩余譜對于正則點集，首先是中間稠密的范圍，其次是逆算子，然后逆算子是連續(xù)的。如果這三個條件同時不滿足，則為譜集，因此將以下情況分為幾類:1不是一一對應的，即沒有逆算子（p點）2。逆運算符是不連續(xù)的（c-continue）。

16.3.特征值和特征元素（點譜）

17.是點譜的充要條件:X稱為對應的特征元素。零空間的所有非零解:也稱為特征子空間。

18.幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)1。不同屬性1。幾何重數(shù):在矩陣運算中，如果矩陣的特征值是重根，那么特征值對應的特征向量所形成的空間（即特征值子空間，也是方程組（λI-A）x = 0）的維數(shù)稱為幾何重數(shù)。2.代數(shù)重數(shù):指方程根的重數(shù)。2.代表差異1。幾何多重性:表示空間的維度。2.代數(shù)重數(shù):表示方程的多重根。

19.4.有界線性算子譜的性質(zhì)在定義6.1.1中，當空間從Banach空間變?yōu)镠ilbert空間，并且線性算子變?yōu)橛薪缇€性算子時，譜集具有更好的性質(zhì)，如以下定理所示:（6.2在Banach空間中解釋）。

20.希爾伯特空間中共軛算子的譜集和共軛算子的譜集關(guān)于X對稱..這從一個側(cè)面反映了算子及其共軛算子的某種對稱性。

21.5.不同的特征值，對應的特征向量是不相關(guān)的。對于，非零解X必須屬于（非零解必須屬于定義域【即必須驗證特征元素是否屬于定義域空間】，這在有限維空間中是不可用的，這在無限維空間中非常重要）（教材p166）。

22.示例:（雖然，因為X不屬于該域，所以它不是特征元素）

在23.6.1.1的4中，當T是有界線性算子時，引入了譜集的性質(zhì)（在6.2中）。現(xiàn)在我們研究當T是閉線性算子時正則點（譜集+正則點）的性質(zhì)。

24.當它是閉算子，尤其是有界線性算子時，我們得到以下結(jié)論:

25.可以看出，當它是閉線性算子時，，當且僅當且。

26.上面的例子表明，線性算子在無限維空間中可以有不是特征值的譜點。有限維空間只有純點譜。

27.6.1.1的4介紹了當T是有界線性算子時譜集的性質(zhì)。

28.在這一節(jié)中，我們主要研究有界線性算子譜集的性質(zhì)。定理6.2.1: T是Banach空間中的有界線性算子。若算子范數(shù)小于1，則該算子存在有界逆算子，其逆算子可表示為T的冪和；定理6.2.2: T是Banach空間中的有界線性算子，則T的譜集是有界集；定理6.2.3: T是Banach空間中的有界線性算子。如果滿足定理中的條件，則正則點集是開集。（開集的定義:若任一點為內(nèi)點，則該集合為開集）正則點集:譜集:

29.定理6.2.3表明譜集是閉集（正則點集是開集，而在C上，除了正則點集外，它都是譜集，所以譜集是閉集）。

30.稍后，我們可以看到，可以為復平面中的任何閉集構(gòu)造線性算子I，因此

31.詳見視頻p73和課本p167-p170。

32.定理6.2.2: T是Banach空間中的有界線性算子，則T的譜集是有界集；事實上，譜集也是非空集。

33.1.譜集是有界閉集。

34.2.算子值函數(shù)及其連續(xù)可微定義

35.考慮正則集上定義的算子值函數(shù):

36.3.算子值函數(shù)中的解析函數(shù)

37.分析:連續(xù)可微

38.4.光譜集不為空。

39.18分鐘~ 32分鐘見視頻p74和教材p170。

40.1.光譜半徑的定義

41.2.譜半徑是譜的上確界。

42.譜半徑的定義不涉及譜。事實上，光譜半徑描述了光譜的范圍。我們有:

43.也就是說，譜半徑等于所有譜的上確界。

44.3.光譜半徑可以是0。

45.教科書p172

46.5.4有界自共軛線性算子的研究。

47.參見第75頁視頻

48.見第75頁視頻。

49.對于自共軛算子的譜半徑，我們有如下定理:譜半徑=算子范數(shù)。

50.參見視頻p76

51.對于H上有界自共軛算子T的譜分布，我們可以從數(shù)值域得到更精確的估計。

52.結(jié)合定理5.4.8、定理6.2.9和定理6.3.5，我們得到以下定理。

此外:

54.請參見視頻p76緊致線性算子，該算子將有界集映射到列緊致集。緊線性算子是一類非常重要的有界線性算子。緊線性算子幾乎可以看作是線性算子在最有限維空間中的推廣。緊線性算子的結(jié)構(gòu)，尤其是譜分解的結(jié)構(gòu)與有限維空間中的線性算子非常相似。除了零點的譜集之外，緊線性最多只包含幾個離散特征值（除了零點之外，沒有收斂點）。

55.1.緊線性算子（全連續(xù)算子）的定義

56.2.緊線性算子的相關(guān)命題

57.3.有界線性算子不一定是緊的。

58.4.緊線性算子的等價表述

59.5.緊算子是線性算子在有限維空間中的“直接推廣”。

60.參見視頻p76

61.6.緊湊運算符的更多示例

62.參見視頻p77

63.教科書p173~p175

64.參見教材p180。

65.1.無限維空間沒有緊算子。

66.參見視頻p77，時長8分鐘~ 13分鐘（裝置操作人員不得緊張）。

67.2.無限維空間中的緊線性算子不是有界線性算子。

68.參見視頻p77，時長13分鐘。

69.3.在緊線性算子中，如果0是正則點，則維數(shù)小于無窮大。

70.0點一定是緊算子t的譜點。

71.4.無限維空間上的緊算子，如果它是內(nèi)射的，則其值域不可能是整個空間。

72.緊線性算子最多有幾個不同的特征值，這些特征值除了0以外沒有聚集點。

73.結(jié)論:緊線性算子的譜理論可以看作是有限維空間中線性算子（矩陣）的特征值理論的推廣。

74.2021.4.19